Передаточное отношение и путь колеса: разбор задач ВсОШ по робототехнике

На теоретическом туре ВсОШ по робототехнике почти всегда есть задачи про шестерёнки, ремни и колёса: сколько оборотов сделает колесо, сколько проедет робот, на какой угол он повернётся. Хорошая новость — для них нужны всего две формулы. Объясняем их простыми словами и разбираем шесть задач от простой к сложной. Задачи составлены нами для тренировки — по образцу типовых олимпиадных.

Когда школьный этап. В Московской области олимпиада по информатике в профиле «Робототехника» пройдёт 12–14 октября. В регионах Центральной России — Белгородской, Брянской, Владимирской, Воронежской, Ивановской, Калужской, Костромской, Курской, Липецкой, Орловской, Рязанской, Смоленской, Тамбовской, Тверской, Тульской и Ярославской областях — 20 октября на платформе «Сириус.Курсы». Расписание для всех регионов — на сайте олимпиады «Сириуса».

Какие ещё темы бывают на теоретическом туре, мы рассказали в статье «Теоретический тур ВсОШ по робототехнике: темы и как подготовиться».

Формула 1. Передаточное отношение

Когда две шестерёнки сцеплены, за один оборот они «проходят» одинаковое число зубьев. Поэтому маленькая шестерёнка крутится быстрее большой.

Передаточное отношение показывает, во сколько раз ведомая шестерёнка (та, которую крутят) вращается медленнее ведущей (той, что на моторе):

передаточное отношение = зубья ведомой : зубья ведущей

Отсюда главная рабочая формула:

обороты ведомой = обороты ведущей × зубья ведущей : зубья ведомой

Что важно запомнить:

• маленькая крутит большую — обороты падают, зато сила (крутящий момент) растёт: робот медленнее, но мощнее;
• большая крутит маленькую — обороты растут, сила падает: робот быстрее, но слабее;
• соседние шестерёнки вращаются в разные стороны;
• в ремённой передаче вместо зубьев считают диаметры шкивов, а оба шкива вращаются в одну сторону;
• в многоступенчатой передаче отношения ступеней перемножаются.

Формула 2. Путь колеса

За один оборот колесо проезжает расстояние, равное длине его окружности:

путь за 1 оборот = π × диаметр (π ≈ 3,14)

весь путь = число оборотов колеса × π × диаметр

Если в условии дан радиус, не забудьте умножить его на 2.

Задача 1. Две шестерёнки

На оси мотора — шестерёнка с 12 зубьями, она крутит шестерёнку колеса с 36 зубьями. Мотор сделал 90 оборотов. Сколько оборотов сделало колесо?

Решение. Передаточное отношение 36 : 12 = 3 — колесо вращается в 3 раза медленнее мотора.
90 : 3 = 30 оборотов.

Ответ: 30.

Задача 2. Сколько крутить мотор

Диаметр колеса робота — 10 см. Колесо соединено с мотором через шестерёнки: на моторе 8 зубьев, на колесе 40. Сколько оборотов должен сделать мотор, чтобы робот проехал прямо 3 м 14 см? Считайте π = 3,14.

Решение.

1. Переводим в сантиметры: 3 м 14 см = 314 см.
2. Путь за один оборот колеса: 3,14 × 10 = 31,4 см.
3. Обороты колеса: 314 : 31,4 = 10.
4. Передаточное отношение: 40 : 8 = 5. Мотор крутится в 5 раз быстрее колеса: 10 × 5 = 50.

Ответ: 50 оборотов.

Задача 3. Двухступенчатая передача

Мотор вращает шестерёнку на 10 зубьев, она крутит шестерёнку на 30 зубьев. На одной оси с ней закреплена шестерёнка на 10 зубьев, которая крутит шестерёнку колеса на 20 зубьев. Мотор делает 120 оборотов в минуту. Сколько оборотов в минуту делает колесо?

Решение. Шестерёнки на одной оси вращаются вместе, поэтому считаем по ступеням.

1. Первая ступень: 120 × 10 : 30 = 40 об/мин.
2. Вторая ступень: 40 × 10 : 20 = 20 об/мин.

Можно сразу перемножить отношения: (30 : 10) × (20 : 10) = 3 × 2 = 6, и 120 : 6 = 20.

Ответ: 20 об/мин.

Задача 4. Ремённая передача

Шкив на моторе имеет диаметр 4 см, ремень передаёт вращение на шкив диаметром 12 см. Мотор делает 60 оборотов в минуту. Сколько оборотов в минуту делает большой шкив и в какую сторону?

Решение. У ремённой передачи считаем по диаметрам: 60 × 4 : 12 = 20 об/мин. Ремень не перекрещён, поэтому шкивы вращаются в одну сторону.

Ответ: 20 об/мин, в ту же сторону, что и мотор.

Задача 5. Промежуточная шестерёнка

Три шестерёнки стоят в ряд: первая — 20 зубьев, вторая — 50, третья — 10. Первая делает 30 оборотов по часовой стрелке. Сколько оборотов и в какую сторону сделает третья?

Решение. Средняя шестерёнка — промежуточная: она не меняет итогового передаточного отношения, а только направление. Поэтому сразу сравниваем первую и третью: 30 × 20 : 10 = 60 оборотов.

Направление: первая — по часовой, вторая — против, третья — снова по часовой.

Ответ: 60 оборотов по часовой стрелке.

Задача 6. Поворот на месте

У робота два колеса диаметром 5 см, расстояние между колёсами — 20 см. Робот поворачивается на месте на 90°: колёса крутятся с одинаковой скоростью в разные стороны. Сколько оборотов делает каждое колесо? Считайте π = 3,14.

Решение.

1. При повороте на месте колёса едут по окружности, диаметр которой равен расстоянию между колёсами, — 20 см.
2. Полный разворот на 360° — это путь 3,14 × 20 = 62,8 см. Поворот на 90° — четверть: 62,8 : 4 = 15,7 см.
3. Путь колеса за оборот: 3,14 × 5 = 15,7 см.
4. Обороты: 15,7 : 15,7 = 1.

Ответ: по 1 обороту, в разные стороны.

Типичные ошибки

• Перепутали, кто ведущий. Ведущая шестерёнка — та, что на моторе. Всегда подписывайте, что откуда крутится.
• Взяли радиус вместо диаметра. Путь за оборот — это π × диаметр.
• Смешали единицы. Метры, дециметры и сантиметры в одной задаче — переведите всё в одни единицы до начала решения.
• Забыли, что шестерёнки на одной оси вращаются вместе. В многоступенчатой передаче считайте по ступеням.
• Нет обоснования. На бланковом туре за голый ответ дают только часть баллов — записывайте решение по шагам.

Где тренироваться дальше

• задания прошлых лет — на mosrobotics.ru и mos-robotics.olimpiada.ru;
• разборы заданий школьного этапа ВсОШ от РОБОЛАТОРИИ по классам — за пожертвование в эндаумент-фонд от 50 рублей: 5–6 класс, 7–8 класс, 9–11 класс;
• Урокробототехники.рф — уроки робототехники онлайн, удобно начать с основ;
• онлайн-курсы РОБОЛАТОРИИ и очные занятия — на сайте РОБОЛАТОРИИ.

Решили все шесть задач? Напишите ответы в комментариях — проверим.